Расчет погрешности прямых измерений — важная часть любого эксперимента, поскольку позволяет оценить точность и надежность полученных результатов. Погрешность указывает на разницу между измеренным значением и истинным значением измеряемой величины.
Типы погрешностей:
Прежде чем приступить к расчету погрешности, необходимо понимать, какие типы погрешностей существуют:
- Систематические погрешности: Погрешности, которые постоянно повторяются в каждом измерении и имеют одинаковое направление (завышают или занижают результат). Причины: неправильная калибровка приборов, несовершенство методики измерений, личные особенности экспериментатора.
- Как обнаружить: Повторные измерения одним и тем же прибором, сравнение с результатами других измерений, использование других методов измерений. Как уменьшить: Тщательная калибровка приборов, совершенствование методики измерений, учет поправок.
Случайные погрешности: Погрешности, которые возникают непредсказуемым образом и имеют разное направление (то завышают, то занижают результат). Причины: колебания температуры, вибрации, шум, ошибки наблюдателя.
- Как обнаружить: Повторные измерения. Случайные погрешности проявляются в разбросе результатов. Как уменьшить: Увеличение числа измерений, использование статистических методов обработки данных.
Инструментальные погрешности: Погрешности, связанные с точностью используемых измерительных приборов. Обычно указываются в паспорте или инструкции к прибору (класс точности, абсолютная погрешность). Промахи (грубые погрешности): Ошибки, возникающие из-за невнимательности или неправильного использования приборов. Результаты, содержащие промахи, следует исключить из обработки.
Этапы расчета погрешности прямых измерений (для случайных погрешностей):
Выполнение серии измерений: Проведите не менее 3-5 (а лучше больше) независимых измерений одной и той же величины в одинаковых условиях. Обозначим результаты измерений как x1, x2, …, xn, где n — количество измерений. Расчет среднего арифметического значения:
- Среднее арифметическое (x̄) является наилучшей оценкой истинного значения измеряемой величины:
3. x̄ = (x1 + x2 + … + xn) / n
Расчет абсолютных отклонений:
- Абсолютное отклонение для каждого измерения показывает, насколько данное измерение отличается от среднего арифметического:
5. Δxi = |xi — x̄| (для каждого i от 1 до n)
Расчет средней абсолютной погрешности:
- Средняя абсолютная погрешность (Δx̄) характеризует разброс результатов измерений:
7. Δx̄ = (Δx1 + Δx2 + … + Δxn) / n
Расчет среднеквадратичного отклонения (стандартного отклонения):
- Стандартное отклонение (σ) является более строгой мерой разброса, чем средняя абсолютная погрешность:
9. σ = √[ Σ(xi — x̄)² / (n — 1) ] (где Σ означает сумму по всем i от 1 до n)
- Обратите внимание: деление на (n-1) вместо n дает более точную оценку стандартного отклонения для малых выборок (n < 30).
Расчет погрешности среднего арифметического (стандартная ошибка среднего):
- Погрешность среднего арифметического (σx̄) характеризует точность, с которой определено среднее арифметическое значение:
11. σx̄ = σ / √n
Оценка итоговой погрешности (с учетом инструментальной погрешности):
- Абсолютная итоговая погрешность (Δx_total): Если известна инструментальная погрешность (Δx_instr) прибора, ее нужно учесть. Самый простой способ — сложить погрешность среднего арифметического и инструментальную погрешность:
13. Δx_total = σx̄ + Δx_instr
- Метод “корня из суммы квадратов” (для более точной оценки): Более точный способ, учитывающий, что погрешности могут быть независимыми:
14. Δx_total = √[(σx̄)² + (Δx_instr)²]
Запись результата измерения:
- Результат измерения записывается в виде:
16. x = x̄ ± Δx_total
- Правила записи:
- Погрешность (Δx_total) округляется до Одной значащей цифры. Среднее арифметическое (x̄) округляется до того же десятичного знака, что и погрешность. Укажите единицы измерения.
Пример:
Предположим, вы измерили длину бруска 5 раз, используя линейку с ценой деления 1 мм (инструментальная погрешность Δx_instr = 0,5 мм). Результаты измерений:
|
Измерение |
Длина (мм) |
|
1 |
152 |
|
2 |
153 |
|
3 |
151 |
|
4 |
152 |
|
5 |
154 |
Среднее арифметическое: x̄ = (152 + 153 + 151 + 152 + 154) / 5 = 152.4 мм Абсолютные отклонения:
- Δx1 = |152 — 152.4| = 0.4 мм Δx2 = |153 — 152.4| = 0.6 мм Δx3 = |151 — 152.4| = 1.4 мм Δx4 = |152 — 152.4| = 0.4 мм Δx5 = |154 — 152.4| = 1.6 мм
Стандартное отклонение: σ = √[ (0.4² + 0.6² + 1.4² + 0.4² + 1.6²) / (5 — 1) ] = 1.30 мм Погрешность среднего арифметического: σx̄ = 1.30 / √5 = 0.58 мм Итоговая погрешность (метод “корня из суммы квадратов”): Δx_total = √[(0.58)² + (0.5)²] = 0.76 мм Округление: Округляем Δx_total до одной значащей цифры: Δx_total ≈ 0.8 мм. Округляем x̄ до десятых долей: x̄ ≈ 152.4 мм Результат измерения: x = 152.4 ± 0.8 мм
Дополнительные замечания:
- Оценка инструментальной погрешности: Если в паспорте прибора указан класс точности, инструментальную погрешность можно оценить следующим образом: Δx_instr = (класс точности / 100) * предел измерения. Косвенные измерения: Если измеряемая величина определяется косвенно (через другие измеряемые величины), то погрешность косвенного измерения рассчитывается с использованием формул теории погрешностей. Доверительный интервал: В более строгих научных исследованиях часто используют понятие доверительного интервала, который указывает диапазон значений, в котором с определенной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины. Для расчета доверительного интервала используют t-критерий Стьюдента.
Помните, что правильный расчет погрешности является важным шагом в любом экспериментальном исследовании, позволяющим оценить достоверность полученных результатов и сделать обоснованные выводы.
