Критерий Коши (или критерий Больцано-Коши) — это фундаментальное утверждение в математическом анализе, которое устанавливает необходимое и достаточное условие для сходимости последовательности или функции. Его особенность в том, что он позволяет определить, сходится ли последовательность (или функция), не зная заранее ее предела.
Критерий Коши для последовательности
Определение фундаментальной (или последовательности Коши) последовательности: Числовая последовательность {xn} называется Фундаментальной, если для любого ε>0 существует такой натуральный номер N (зависящий от ε), что для всех n>N и m>N выполняется неравенство: ∣xn−xm∣<ε Это означает, что члены последовательности становятся сколь угодно близкими друг к другу по мере увеличения их номеров.
Формулировка критерия Коши для последовательности: Числовая последовательность {xn} Сходится (то есть имеет конечный предел) тогда и только тогда, когда она является Фундаментальной.
Простыми словами: Представьте, что вы идёте по дорожке. Если вы с каждым шагом приближаетесь к определенной точке (то есть последовательность сходится), то ваши шаги становятся всё меньше и меньше, и вы всё ближе и ближе к предыдущим шагам. Критерий Коши говорит об обратном: если вы замечаете, что ваши шаги (расстояние между текущей и следующей точкой) становятся бесконечно малыми, это гарантирует, что вы обязательно куда-то придёте, то есть последовательность сходится к некоторому пределу.
Критерий Коши для функции
Критерий Коши также применим для проверки существования конечного предела функции в точке (конечной или бесконечно удаленной).
Формулировка критерия Коши для функции: Пусть функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x0. Для того чтобы функция f(x) имела конечный предел в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 существовала такая проколотая окрестность U(x0) точки x0, что для любых x′∈U(x0) и x′′∈U(x0) выполняется неравенство: ∣f(x′)−f(x′′)∣<ε
Простыми словами: Если значения функции становятся сколь угодно близкими друг к другу, когда аргументы функции x′ и x′′ достаточно близки к точке x0, то это гарантирует, что у функции есть предел в этой точке.
Значение критерия Коши
Критерий Коши является одним из краеугольных камней математического анализа, особенно в теории сходимости. Он позволяет доказывать сходимость (или расходимость) без непосредственного нахождения предела, что крайне важно, когда вычисление предела затруднительно или невозможно. Кроме того, этот критерий тесно связан с понятием Полноты метрического пространства (например, множества действительных чисел R). В неполных пространствах (например, в множестве рациональных чисел Q) существуют фундаментальные последовательности, которые не сходятся к элементу этого пространства.
Аккаунт Google
Antoxadroid Kiselev
Sarikserver@gmail. com
