Определение границ интервалов в статистике является важным этапом при построении сгруппированных данных, гистограмм и других графических представлений, позволяющих анализировать и визуализировать распределение данных. Правильный выбор границ интервалов влияет на интерпретацию результатов и выявление закономерностей. Существует несколько методов определения границ интервалов, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки.
Основные этапы определения границ интервалов:
Определение количества интервалов (k):
- Правило квадратного корня: Наиболее простой метод, рекомендующий количество интервалов равным квадратному корню из числа наблюдений (n):
O k ≈ √n
- Формула Стерджеса: Учитывает число наблюдений и позволяет получить более адекватное количество интервалов, особенно для больших выборок:
O k = 1 + 3.322 * log10(n)
- Рекомендации: Обычно рекомендуется использовать от 5 до 20 интервалов. Слишком мало интервалов приведет к потере деталей распределения, а слишком много – к затруднению визуализации и анализу.
Определение ширины интервала (h):
- Ширина интервала определяется как разность между максимальным и минимальным значением в выборке (размах) деленная на количество интервалов:
O h = (xmax — xmin) / k
- Рекомендации: Ширина интервала должна быть одинаковой для всех интервалов, если нет особых причин для использования интервалов разной ширины. Если используется формула Стерджеса, то ширину интервала часто округляют до удобного для восприятия числа.
Определение границ интервалов:
- Начало первого интервала: Обычно выбирается минимальное значение в выборке (xmin) или значение немного меньше xmin, чтобы гарантировать, что все данные попадут в интервалы. Границы последующих интервалов: Определяются путем прибавления ширины интервала (h) к началу предыдущего интервала. Тип интервалов: Важно определить, включаются ли границы интервалов в интервал. Обычно используются Закрытые слева, открытые справа интервалы, то есть левая граница интервала включается в интервал, а правая – нет. Обозначается как [a, b), где a – левая граница, b – правая граница.
Пример определения границ интервалов:
Предположим, у нас есть следующие данные (возраст сотрудников компании):
22, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 58, 60
Число наблюдений (n): 16 Количество интервалов (k):
- По правилу квадратного корня: k ≈ √16 = 4 По формуле Стерджеса: k = 1 + 3.322 * log10(16) ≈ 1 + 3.322 * 1.204 ≈ 5.00 ≈ 5
Выберем k = 5 интервалов.
Размах (xmax — xmin): 60 — 22 = 38 Ширина интервала (h): h = 38 / 5 = 7.6. Округлим до 8 для удобства. Границы интервалов:
- Первый интервал: [22, 30) (22 + 8 = 30) Второй интервал: [30, 38) (30 + 8 = 38) Третий интервал: [38, 46) (38 + 8 = 46) Четвертый интервал: [46, 54) (46 + 8 = 54) Пятый интервал: [54, 62) (54 + 8 = 62)
Альтернативные методы:
- Квантильные интервалы: Разделяют данные на группы, содержащие одинаковое количество наблюдений. Например, квартили делят данные на 4 группы, децили – на 10. Интервалы равной вероятности: Интервалы, в которых вероятность попадания значения в интервал одинакова. Требует знания закона распределения. Адаптивные интервалы: Ширина интервалов может меняться в зависимости от плотности данных. Используются для более детального анализа областей с высокой плотностью данных. Использование специализированного программного обеспечения: Статистические пакеты (например, R, Python с библиотеками NumPy, Pandas, Matplotlib, Seaborn, SPSS) предоставляют автоматизированные инструменты для определения границ интервалов и построения гистограмм.
Рекомендации по выбору метода:
- Для небольших выборок (n < 30) рекомендуется использовать правило квадратного корня или формулу Стерджеса с последующей ручной корректировкой. Для больших выборок (n > 100) можно использовать автоматизированные методы, предоставляемые статистическими пакетами. Если требуется анализ определенных квантилей распределения, то следует использовать квантильные интервалы. При наличии аномальных значений (выбросов) рекомендуется использовать методы, устойчивые к выбросам.
В заключение, выбор метода определения границ интервалов зависит от целей анализа, характеристик данных и доступных инструментов. Важно помнить, что правильный выбор границ интервалов позволяет получить более адекватное представление о распределении данных и сделать обоснованные выводы.
