Признаки сравнения для несобственных интегралов — это мощные инструменты для определения сходимости или расходимости интегралов, которые нельзя вычислить непосредственно (например, из-за бесконечных пределов интегрирования или особенностей подынтегральной функции). Они позволяют сделать вывод о сходимости/расходимости исследуемого интеграла, сравнивая его с другим, сходимость/расходимость которого уже известна.
Основные признаки сравнения:
Пусть даны два несобственных интеграла:
- ∫a+∞ f(x) dx ∫a+∞ g(x) dx
Где f(x) и g(x) неотрицательны на промежутке [a, +∞) (или на промежутке [a, b), если рассматривается интеграл с особенностью в точке b).
1. Первый признак сравнения (Основной признак сравнения):
- Сходимость: Если 0 ≤ f(x) ≤ g(x) для всех x ≥ a и интеграл ∫a+∞ g(x) dx сходится, то интеграл ∫a+∞ f(x) dx также сходится. Если “больший” интеграл сходится, то “меньший” тоже сходится. Расходимость: Если 0 ≤ g(x) ≤ f(x) для всех x ≥ a и интеграл ∫a+∞ g(x) dx расходится, то интеграл ∫a+∞ f(x) dx также расходится. Если “меньший” интеграл расходится, то “больший” тоже расходится.
2. Второй признак сравнения (Предельный признак сравнения):
- Если существует конечный и отличный от нуля предел: limx→+∞ (f(x) / g(x)) = L (где 0 < L < +∞), то интегралы ∫a+∞ f(x) dx и ∫a+∞ g(x) dx либо оба сходятся, либо оба расходятся. Если отношение подынтегральных функций стремится к конечному ненулевому числу, то они ведут себя одинаково (с точки зрения сходимости/расходимости).
Признаки сравнения для интегралов с особенностями:
Те же признаки сравнения применимы и для несобственных интегралов с особенностями в точке b (где подынтегральная функция стремится к бесконечности в этой точке):
∫ab f(x) dx и ∫ab g(x) dx
- Первый признак: Если 0 ≤ f(x) ≤ g(x) для всех x ∈ [a, b) и ∫ab g(x) dx сходится, то ∫ab f(x) dx сходится. И наоборот. Второй признак: Если limx→b- (f(x) / g(x)) = L (где 0 < L < +∞), то интегралы ∫ab f(x) dx и ∫ab g(x) dx либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Как применять признаки сравнения:
Определите проблему: Посмотрите на интеграл и поймите, почему он несобственный (бесконечный предел или особенность). Выберите функцию сравнения: Найдите функцию g(x), сходимость или расходимость интеграла от которой вам известна, и которая “похожа” на f(x) в окрестности бесконечности (или точки особенности). Часто используются функции вида 1/xp. Важно, чтобы выполнялись условия 0 ≤ f(x) ≤ g(x) или 0 ≤ g(x) ≤ f(x) (для первого признака) или существовал конечный ненулевой предел (для второго признака). Примените признак сравнения: Используйте первый или второй признак, чтобы сделать вывод о сходимости или расходимости исходного интеграла.
Пример:
Исследуйте на сходимость интеграл ∫1+∞ (dx / (x2 + 1)).
Проблема: Бесконечный верхний предел. Функция сравнения: Выберем g(x) = 1/x2. Мы знаем, что интеграл ∫1+∞ (dx / x2) сходится (т. к. p = 2 > 1). Заметим, что для всех x ≥ 1 выполняется неравенство: 0 ≤ 1/(x2 + 1) ≤ 1/x2. Признак сравнения: По первому признаку сравнения, так как интеграл ∫1+∞ (dx / x2) сходится и 0 ≤ 1/(x2 + 1) ≤ 1/x2, то интеграл ∫1+∞ (dx / (x2 + 1)) также сходится.
Важные замечания:
- Признаки сравнения применимы только к интегралам от неотрицательных функций (на рассматриваемом промежутке). Если подынтегральная функция меняет знак, нужно использовать другие методы (например, признаки абсолютной сходимости). Правильный выбор функции сравнения — ключевой момент. Нужна практика, чтобы научиться это делать. Иногда нужно использовать несколько признаков подряд, чтобы исследовать интеграл на сходимость. Для удобства часто используются эталонные интегралы, сходимость или расходимость которых известна (например, ∫1+∞ (dx / xp) сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1, ∫01 (dx / xp) сходится при p < 1 и расходится при p ≥ 1).
Использование признаков сравнения требует понимания их сути и практики в применении. С их помощью можно исследовать сходимость многих несобственных интегралов, не вычисляя их непосредственно.
