В статике, разделе теоретической механики, Теорема о параллельном переносе силы и Приведение системы сил к данному центру являются фундаментальными концепциями для анализа действия сил на твёрдое тело. Они позволяют упростить сложную систему сил, чтобы понять её общее влияние на движение или равновесие тела.
Теорема о параллельном переносе силы (Лемма Пуансо)
Суть теоремы: Любую силу, приложенную к абсолютно твёрдому телу в определённой точке, можно Параллельно перенести в любую другую точку этого тела, не меняя её механического действия на тело. Однако такой перенос Необходимо компенсировать добавлением пары сил. Момент этой пары сил будет равен моменту исходной силы относительно новой точки приложения.
Формулировка: Сила F, приложенная в точке A твёрдого тела, эквивалентна такой же силе F′, приложенной в любой другой точке B этого тела (причём F′ параллельна и равна F), и паре сил с моментом MB(F), который равен моменту силы F относительно новой точки B.
F (в точке A)∼F′ (в точке B)+MB(F)
Где MB(F)=rBA×F, где rBA — радиус-вектор, проведённый из точки B в точку A.
Доказательство (схематично): Представим силу F, приложенную в точке A. Чтобы перенести её в точку B, в этой точке B прикладывают две взаимно уравновешивающие силы F′ и F′′, равные по модулю силе F и параллельные ей, но направленные в противоположные стороны (F′=F и F′′=−F). Система (F, F′, F′′) эквивалентна исходной силе F, так как добавленные силы взаимно компенсируются и не изменяют общего действия на тело. Теперь рассмотрим две силы: исходную силу F в точке A и одну из добавленных сил F′′ в точке B (которая направлена противоположно F). Эти две силы (F в A и F′′ в B) образуют пару сил с моментом MB(F). Остаётся сила F′, приложенная в точке B. Таким образом, исходная сила F в A эквивалентна силе F′ в B и паре сил с моментом MB(F).
Практическое значение: Эта теорема позволяет анализировать действие сил в любой удобной точке твёрдого тела, что значительно упрощает расчёты в статике и динамике.
Приведение системы сил к данному центру
Цель: Упростить произвольную систему сил, действующих на твёрдое тело, заменив её эквивалентной системой, приложенной в одной выбранной точке (центре приведения).
Процесс приведения:
Выбор центра приведения: Выбирается произвольная точка O в пространстве (или на теле), называемая Центром приведения. Параллельный перенос каждой силы: Каждая сила Fi из исходной системы, приложенная в точке Ai, переносится в центр приведения O в соответствии с теоремой о параллельном переносе силы. При этом каждая сила Fi заменяется:
- Силой Fi′, приложенной в точке O (где Fi′=Fi). Парой сил с моментом MO(Fi), равным моменту исходной силы Fi относительно центра O. Этот момент вычисляется как MO(Fi)=rOAi×Fi, где rOAi — радиус-вектор из O в Ai.
Сложение сил в центре O: Все перенесённые силы Fi′ (которые теперь приложены в одной точке O) складываются по правилу сложения сходящихся сил. Их векторная сумма называется Главным вектором системы сил (R): R=∑i=1nFi Главный вектор не зависит от выбора центра приведения, так как это просто векторная сумма всех сил. Сложение моментов пар: Все моменты MO(Fi) от присоединённых пар также складываются векторно. Их сумма называется Главным моментом системы сил относительно центра O (MO): MO=∑i=1nMO(Fi)=∑i=1n(rOAi×Fi) Главный момент, в отличие от главного вектора, Зависит от выбора центра приведения.
Результат приведения: Любая произвольная система сил, действующих на твёрдое тело, может быть эквивалентно заменена в произвольно выбранном центре O на:
- Один главный вектор R, приложенный в центре O. Одну пару сил с моментом, равным главному моменту MO, действующую на тело.
Таким образом, сложная система из n сил сводится к более простой системе из одной силы и одной пары.
Частные случаи приведения:
- Система эквивалентна одной равнодействующей силе: Это происходит, если главный момент MO=0 (при R=0). В этом случае главный вектор R является равнодействующей, и его линия действия проходит через центр приведения O. Система эквивалентна одной паре сил: Это происходит, если главный вектор R=0 (при MO=0). В этом случае система сил эквивалентна одной паре с моментом MO, причём этот момент не зависит от выбора центра приведения. Система находится в равновесии: Это происходит, если и главный вектор R=0, и главный момент MO=0. Система эквивалентна силовому винту (динаме): Если R=0 и MO=0, и при этом главный момент MO параллелен главному вектору R, то систему сил можно привести к одной силе, направленной вдоль центральной оси, и паре сил, момент которой также направлен вдоль этой оси. Общий случай: Если R=0 и MO=0, и они не параллельны, систему можно привести к одной равнодействующей силе, линия действия которой не проходит через центр приведения, а смещена на определенное расстояние.
Понимание этих теорем позволяет эффективно анализировать механические системы и решать задачи статики и динамики твёрдого тела.
