Сравнение генеральных дисперсий

Сравнение генеральных дисперсий — это важная задача в статистике, которая позволяет определить, имеют ли две или более выборки одинаковую изменчивость. Это часто является предпосылкой для применения других статистических тестов (например, t-критерия Стьюдента для сравнения средних) или важным выводом само по себе (например, при сравнении точности различных методов измерений).

Что такое генеральная дисперсия?

Генеральная дисперсия (σ2) — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания (среднего) для всей генеральной совокупности. Она показывает, насколько данные в популяции отклоняются от среднего значения. На практике генеральная дисперсия обычно неизвестна, и мы оцениваем её на основе выборочной дисперсии (s2).

Зачем сравнивать генеральные дисперсии?

Проверка однородности дисперсий (гомоскедастичности): Многие параметрические статистические тесты (например, дисперсионный анализ ANOVA, классический t-критерий Стьюдента) требуют, чтобы дисперсии сравниваемых групп были равны. Если это условие нарушается (гетероскедастичность), то результаты этих тестов могут быть неточными, и необходимо использовать альтернативные методы или корректировки. Сравнение изменчивости: В некоторых исследованиях сама изменчивость является основным объектом изучения. Например, сравнение разброса результатов между двумя производственными линиями, точности двух измерительных приборов или стабильности двух процессов.

Методы сравнения генеральных дисперсий

Для сравнения генеральных дисперсий используются различные статистические критерии, выбор которых зависит от количества сравниваемых групп, распределения данных и объема выборок.

1. F-критерий Фишера (F-test)

Что сравнивает: Дисперсии Двух независимых выборок. Предпосылки: Данные в обеих выборках должны быть Нормально распределены. F-критерий очень чувствителен к отклонениям от нормальности. Нулевая гипотеза (H0​): Генеральные дисперсии двух совокупностей равны (σ12​=σ22​). Альтернативная гипотеза (H1​): Генеральные дисперсии не равны (σ12​=σ22​) или одна больше другой (σ12​>σ22​ или σ12​<σ22​). Принцип работы: Вычисляется отношение большей выборочной дисперсии к меньшей выборочной дисперсии: F=sменьшая2​sбольшая2​​. Полученное значение сравнивается с табличным (критическим) значением F-распределения при заданном уровне значимости и соответствующих степенях свободы. Преимущества: Прост в расчете для двух выборок, широко используется. Недостатки: Высокая чувствительность к нормальности распределения, не подходит для сравнения более чем двух выборок.

2. Критерий Бартлетта (Bartlett’s Test)

Что сравнивает: Равенство дисперсий Двух и более выборок. Предпосылки: Данные в каждой выборке должны быть Нормально распределены. Критерий Бартлетта очень чувствителен к отклонениям от нормальности. Если распределения не нормальные, даже небольшие отклонения могут привести к ложному отклонению нулевой гипотезы. Нулевая гипотеза (H0​): Дисперсии всех сравниваемых совокупностей равны. Альтернативная гипотеза (H1​): По крайней мере, одна дисперсия отличается от других. Принцип работы: Вычисляет статистику, которая приблизительно следует распределению хи-квадрат (χ2). Преимущества: Позволяет сравнивать дисперсии множества групп. Недостатки: Крайне высокая чувствительность к нормальности распределения. Если нормальность под сомнением, лучше использовать другие тесты.

3. Критерий Левена (Levene’s Test)

Что сравнивает: Равенство дисперсий Двух и более выборок. Предпосылки: Менее чувствителен к отклонениям от нормальности распределения, чем F-критерий и критерий Бартлетта. Это его главное преимущество. Нулевая гипотеза (H0​): Дисперсии всех сравниваемых совокупностей равны. Альтернативная гипотеза (H1​): По крайней мере, одна дисперсия отличается от других. Принцип работы: Проверяет равенство дисперсий путем применения обычного дисперсионного анализа (ANOVA) к абсолютным отклонениям данных от их медиан (или средних) в каждой группе. Это делает его более робастным к ненормальности. Преимущества: Робастность к ненормальности, подходит для множества групп. Недостатки: Немного меньшая мощность по сравнению с критерием Бартлетта, если данные действительно нормально распределены.

4. Критерий Брауна-Форсайта (Brown–Forsythe Test)

Что сравнивает: Равенство дисперсий Двух и более выборок. Предпосылки: Также является робастным к ненормальности. Схож с критерием Левена, но использует абсолютные отклонения от медиан, что делает его еще более робастным в некоторых случаях. Преимущества: Одна из самых робастных альтернатив для проверки однородности дисперсий при ненормальных данных.

Сравнительная таблица методов

Критерий	Количество выборок	Требование к нормальности	Особенности / Применение
F-критерий Фишера	2	Высокая чувствительность	Простой, но очень чувствителен к отклонениям от нормальности. Чаще используется для двух групп.
Критерий Бартлетта	2 и более	Высокая чувствительность	Мощный тест для нормальных данных, но очень чувствителен к ненормальности.
Критерий Левена	2 и более	Низкая чувствительность	Предпочтителен в большинстве случаев, особенно при сомнениях в нормальности данных.
Критерий Брауна-Форсайта	2 и более	Низкая чувствительность	Ещё более робастный вариант критерия Левена, использующий медианы.

Общий алгоритм проверки гипотезы о равенстве дисперсий:

Сформулировать гипотезы:

H0​: Дисперсии равны. H1​: Дисперсии не равны (или направленная альтернатива).

Выбрать уровень значимости (α): Обычно 0.05 или 0.01. Выбрать подходящий критерий:

Если 2 выборки и уверены в нормальности: F-критерий Фишера. Если 2 и более выборки, и уверены в нормальности: Критерий Бартлетта. Если 2 и более выборки, и есть сомнения в нормальности (или не нормальные): Критерий Левена или Брауна-Форсайта.

Рассчитать тестовую статистику для выбранного критерия. Найти критическое значение из соответствующих таблиц распределений (или использовать p-значение). Принять решение:

Если рассчитанное значение статистики Больше критического значения (или p-значение Меньше α), то нулевая гипотеза Отвергается. Это означает, что есть статистически значимые различия в дисперсиях. Если рассчитанное значение статистики Меньше критического значения (или p-значение Больше α), то нулевая гипотеза Не отвергается. Это означает, что нет достаточных оснований считать дисперсии разными.

Важность выбора критерия

Правильный выбор критерия для сравнения дисперсий критически важен. Использование чувствительного к нормальности теста (например, Бартлетта) на ненормально распределенных данных может привести к ошибочным выводам (например, ложному отклонению нулевой гипотезы), что, в свою очередь, повлияет на выбор дальнейших статистических методов анализа данных. Поэтому критерии Левена и Брауна-Форсайта часто рекомендуются как более надежные в реальных исследованиях.